В данной статье рассказывается о том, как решать задачи про движение по наклонной плоскости. Рассмотрено подробное решение задачи о движении связанных тел по наклонной плоскости из ЕГЭ по физике.
Решение задачи о движении по наклонной плоскости
Прежде чем перейти непосредственно к решению задачи, как репетитор по математике и физике, рекомендую тщательно проанализировать ее условие. Начать нужно с изображения сил, которые действуют на связанные тела:
Здесь и — силы натяжения нити, действующие на левое и правое тело, соответственно, — сила реакции опоры, действующая на левое тело, и — силы тяжести, действующие на левое и правое тело, соответственно. С направлением этих сил все понятно. Сила натяжения направлена вдоль нити, сила тяжести вертикально вниз, а сила реакции опоры перпендикулярно наклонной плоскости.
А вот с направлением силы трения придется разбираться отдельно. Поэтому на рисунке она изображена пунктирной линией и подписана со знаком вопроса. Интуитивно понятно, что если правый груз будет «перевешивать» левый, то сила трения будет направлена противоположно вектору . Наоборот, если левый груз будет «перевешивать» правый, то сила трения будет сонаправлена с вектором .
Правый груз тянет вниз сила Н. Здесь мы взяли ускорение свободного падения м/с 2 . Левый груз вниз тоже тянет сила тяжести, но не вся целиком, а только ее «часть», поскольку груз лежит на наклонной плоскости. Эта «часть» равна проекции силы тяжести на наклонную плоскости, то есть катету в прямоугольном треугольнике , изображенном на рисунке, то есть равна Н.
То есть «перевешивает» все-таки правый груз. Следовательно, сила трения направлена так, как показано на рисунке (мы ее нарисовали от центра масс тела, что возможно в случае, когда тело можно моделировать материальной точкой):
Второй важный вопрос, с которым нужно разобраться, будет ли вообще двигаться эта связанная система? Вдруг окажется так, что сила трения между левым грузом и наклонной плоскостью будет настолько велика, что не даст ему сдвинуться с места?
Такая ситуация будет возможна в том случае, когда максимальная сила трения, модуль которой определяется по формуле (здесь — коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью, — сила реакции опоры, действующая на груз со стороны наклонной плоскости), окажется больше той силы, которая старается привести систему с движение. То есть той самой «перевешивающей» силы, которая равна Н.
Модуль силы реакции опоры равен длине катета в треугольнике по 3-музакону Ньютона (с какой по величине силой груз давит на наклонную плоскость, с такой же по величине силой наклонная плоскость действует на груз). То есть сила реакции опоры равна Н. Тогда максимальная величина силы трения составляет Н, что меньше, чем величина «перевешивающей силы».
Следовательно, система будет двигаться, причем двигаться с ускорением. Изобразим на рисунке эти ускорения и оси координат, которые нам понадобятся далее при решении задачи:
Теперь, после тщательного анализа условия задачи, мы готовы приступить к ее решению.
Запишем 2-ой закон Ньютона для левого тела:
А в проекции на оси координатной системы получаем:
Здесь с минусом взяты проекции, векторы которых направлен против направления соответствующей оси координат. С плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлен с соответствующей осью координат.
Еще раз подробно объясним, как находить проекции и . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник , изображенный на рисунке. В этом треугольнике 
и 
. Также известно, что в этом прямоугольном треугольнике . Тогда и .
Вектор ускорения целиком лежит на оси , поэтому и . Как мы уже вспоминали выше, по определению модуль силы трения равен произведению коэффициента трения на модуль силы реакции опоры. Следовательно, . Тогда исходная система уравнений принимает вид:
Запишем теперь 2-ой закон Ньютона для правого тела:
В проекции на ось получаем.
Букина Марина, 9 В
Движение тела по наклонной плоскости
с переходом на горизонтальную
В качестве исследуемого тела я взяла монету достоинством 10 рублей (грани ребристые).
Технические характеристики:
Диаметр монеты – 27,0 мм;
Масса монеты - 8,7 г;
Толщина - 4 мм;
Монета изготовлена из сплава латунь-мельхиор.
За наклонную плоскость я решила принять книгу длиной 27 см. Она и будет являться наклонной плоскостью. Горизонтальная же плоскость неограниченная, т. к. цилиндрическое тело, а в дальнейшем монета, скатываясь с книги, будет продолжать свое движение на полу (паркетная доска). Книга поднята на высоту 12 см от пола; угол между вертикальной плоскостью и горизонтальной равен 22 градусам.
В качестве дополнительного оборудования для измерений были взяты: секундомер, линейка обыкновенная, длинная нить, транспортир, калькулятор.
На Рис.1. схематичное изображение монеты на наклонной плоскости.
Выполним пуск монеты.
Полученные результаты занесем в таблицу 1
вид плоскости | ||||
наклонная плоскость | ||||
горизонтальная плоскость | ||||
*0,27 м величина постоянная tобщ=90,04 |
Таблица 1
Траектория движения монеты во всех опытах была различна, но некоторые части траектории были похожи. По наклонной плоскости монета двигалась прямолинейно, а при движении на горизонтальной плоскости – криволинейно.
На Рисунке 2 изображены силы, действующие на монету во время её движения по наклонной плоскости:
С помощью II Закона Ньютона выведем формулу для нахождения ускорения монеты (по Рис.2.):
Для начала, запишем формулу II Закона Ньютона в векторном виде.
Где - ускорение, с которым движется тело, - равнодействующая сила (силы, действующие на тело), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height="53">, на наше тело во время движения действуют три силы: сила тяжести (Fтяж), сила трения (Fтр) и сила реакции опоры (N);
Избавимся от векторов, при помощи проецирования на оси X и Y:
Где - коэффициент трения
Т. к. у нас нет данных о числовом значении коэффициента трения монеты о нашу плоскость, воспользуемся другой формулой:
Где S – путь, пройденный телом, V0- начальная скорость тела, а – ускорение, с которым двигалось тело, t – промежуток времени движения тела.
т. к. 
,
в ходе математических преобразований получаем следующую формулу:
При проецировании этих сил на ось Х (Рис.2.) видно, что направления векторов пути и ускорения совпадают, запишем полученную форму, избавившись от векторов:
За S и t примем средние значения из таблицы, найдем ускорение и скорость (по наклонной плоскости тело двигалось прямолинейно равноускоренно).
https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">
Аналогично найдём ускорение тела на горизонтальной плоскости (по горизонтальной плоскости тело двигалось прямолинейно равнозамедленно)
R=1, 35 см, где R – радиус монеты
где - угловая скорость, -центростремительное ускорение, - частота обращения тела по окружности
Движение тела по наклонной плоскости с переходом на горизонтальную – прямолинейное равноускоренное, сложное, которое можно разделить на вращательное и поступательное движения.
Движение тела на наклонной плоскости является прямолинейным равноускоренным.
По II Закону Ньютона видно, что ускорение зависит только от равнодействующей силы (R), а она на протяжении всего пути по наклонной плоскости остается величиной постоянной, т. к. в конечной формуле, после проецирования II Закона Ньютона, величины, задействованные в формуле являются постоянными https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">поворота из некоторого начального положения.
Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе.
Факторы, влияющие на время движения тела
по наклонной плоскости
с переходом на горизонтальную
Зависимость времени от монет разного достоинства (т. е. имеющих разный d (диаметр)).
Достоинство монеты | d монеты, см | tср, с |
||
Таблица 2
Чем больше диаметр монеты, тем больше время её движения.
Зависимость времени от угла наклона
Угол наклона | tср, с |
||
Динамика является одним из важных разделов физики, который изучает причины движения тел в пространстве. В данной статье рассмотрим с точки зрения теории одну из типичных задач динамики — движение тела по наклонной плоскости, а также приведем примеры решений некоторых практических проблем.
Основная формула динамики
Прежде чем переходить к изучению физики движения тела по плоскости наклонной, приведем необходимые теоретические сведения для решения этой задачи.
В XVII Исаак Ньютон благодаря практическим наблюдениям за движением макроскопических окружающих тел вывел три закона, носящих в настоящее время его фамилию. На этих законах зиждется вся классическая механика. Нас интересует в данной статье лишь второй закон. Его математический вид приведен ниже:
Формула говорит о том, что действие внешней силы F¯ придаст ускорение a¯ телу массой m. Это простое выражение будем далее использовать для решения задач движения тела по плоскости наклонной.
Отметим, что сила и ускорение — это величины векторные, направленные в одну и ту же сторону. Кроме того, сила — это аддитивная характеристика, то есть в приведенной формуле F¯ можно рассматривать как результирующее воздействие на тело.
Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней
Ключевым моментом, от которого зависит успех решения задач движения тела по плоскости наклонной, является определение действующих на тело сил. Под определением сил понимают знание их модулей и направлений действия.
Ниже дан рисунок, где показано, что тело (автомобиль) находится в покое на наклоненной под углом к горизонту плоскости. Какие силы на него действуют?
Список ниже перечисляет эти силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- трения;
- натяжения нити (если присутствует).
Сила тяжести
В первую очередь это сила тяжести (F g). Она направлена вертикально вниз. Поскольку тело имеет возможность двигаться только вдоль поверхности плоскости, то при решении задач силу тяжести разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Одна из составляющих направлена вдоль плоскости, другая — перпендикулярна ей. Только первая из них приводит к появлению у тела ускорения и, по сути, является единственным движущим фактором для рассматриваемого тела. Вторая составляющая обуславливает возникновение силы реакции опоры.
Реакция опоры
Второй действующей на тело силой является реакция опоры (N). Причина ее появления связана с третьим законом Ньютона. Величина N показывает, с какой силой плоскость воздействует на тело. Она направлена вверх перпендикулярно плоскости наклонной. Если бы тело находилось на горизонтальной поверхности, то N равнялась бы его весу. В рассматриваемом же случае N равна лишь второй составляющей, полученной при разложении силы тяжести (см. абзац выше).
Реакция опоры не оказывает прямого воздействия на характер движения тела, поскольку она перпендикулярна плоскости наклона. Тем не менее она обуславливает появление трения между телом и поверхностью плоскости.
Сила трения
Третьей силой, которую следует учитывать при исследовании движения тела по наклонной плоскости, является трение (F f). Физическая природа трения является непростой. Ее появление связано с микроскопическими взаимодействиями соприкасающихся тел, имеющих неоднородные поверхности контакта. Выделяют три вида этой силы:
- покоя;
- скольжения;
- качения.
Трение покоя и скольжения описываются одной и той же формулой:
где µ — это безразмерный коэффициент, значение которого определяется материалами трущихся тел. Так, при трении скольжения дерева о дерево µ = 0,4, а льда о лед — 0,03. Коэффициент для трения покоя всегда больше такового для скольжения.
Трение качения описывается по отличной от предыдущей формуле. Она имеет вид:
Здесь r — радиус колеса, f — коэффициент, имеющий размерность обратной длины. Эта сила трения, как правило, намного меньше предыдущих. Заметим, что на ее значение влияет радиус колеса.
Сила F f , какого бы типа она ни была, всегда направлена против движения тела, то есть F f стремится остановить тело.
Натяжение нити
При решении задач движения тела по наклонной плоскости эта сила не всегда присутствует. Ее появление определяется тем, что находящееся на наклонной плоскости тело связано с помощью нерастяжимой нити с другим телом. Часто второе тело свисает на нити через блок за пределами плоскости.
На находящийся на плоскости предмет, сила натяжение нити воздействует либо ускоряя его, либо замедляя. Все зависит от модулей сил, действующих в физической системе.
Появление этой силы в задаче значительно усложняет процесс решения, поскольку приходится рассматривать одновременно движение двух тел (на плоскости и свисающего).
Задача на определение критического угла
Теперь пришло время применить описанную теорию для решения реальных задач движения по наклонной плоскости тела.
Предположим, что брус из дерева имеет массу 2 кг. Он находится на деревянной плоскости. Следует определить, при каком критическом угле наклона плоскости брус начнет по ней скользить.
Скольжение бруса наступит только тогда, когда суммарная действующая вниз вдоль плоскости сила на него окажется больше нуля. Таким образом, чтобы решить эту задачу, достаточно определить результирующую силу и найти угол, при котором она станет больше нуля. Согласно условию задачи на брус будут вдоль плоскости оказывать действие только две силы:
- составляющая силы тяжести F g1 ;
- трение покоя F f .
Чтобы началось скольжение тела, должно выполняться условие:
Отметим, что если составляющая силы тяжести превысит трение покоя, то она также будет больше силы трения скольжения, то есть начавшееся движение будет продолжаться с постоянным ускорением.
Рисунок ниже показывает направления всех действующих сил.
Обозначим критический угол символом θ. Несложно показать, что силы F g1 и F f будут равны:
F g1 = m × g × sin(θ);
F f = µ × m × g × cos(θ).
Здесь m × g — это вес тела, µ — коэффициент силы трения покоя для пары материалов дерево-дерево. Из соответствующей таблицы коэффициентов можно найти, что он равен 0,7.
Подставляем найденные величины в неравенство, получаем:
m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).
Преобразуя это равенство, приходим к условию движения тела:
tg(θ) ≥ µ =>
θ ≥ arctg(µ).
Мы получили весьма интересный результат. Оказывается, значение критического угла θ не зависит от массы тела на наклонной плоскости, а однозначно определяется коэффициентом трения покоя µ. Подставляя его значение в неравенство, получим величину критического угла:
θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35 o .
Задача на определение ускорения при движении по наклонной плоскости тела
Теперь решим несколько иную задачу. Пусть на стеклянной наклонной плоскости находится брус из дерева. Плоскость к горизонту наклонена под углом 45 o . Следует определить, с каким ускорением будет двигаться тело, если его масса равна 1 кг.
Запишем главное уравнение динамики для этого случая. Поскольку сила F g1 будет направлена вдоль движения, а F f против него, то уравнение примет вид:
F g1 — F f = m × a.
Подставляем полученные в предыдущей задаче формулы для сил F g1 и F f , имеем:
m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.
Откуда получаем формулу для ускорения:
a = g × (sin(θ) — µ × cos(θ)).
Снова мы получили формулу, в которой нет массы тела. Этот факт означает, что бруски любой массы будут соскальзывать за одно и то же время по наклонной плоскости.
Учитывая, что коэффициент µ для трущихся материалов дерево-стекло равен 0,2, подставим все параметры в равенство, получим ответ:
Таким образом, методика решения задач с наклонной плоскостью заключается в определении результирующей силы, действующей на тело, и в последующем применении второго закона Ньютона.
Физика: движение тела по наклонной плоскости. Примеры решения и задачи — все интересные факты и достижения науки и образования на сайт
В нашем случае F н = m·g , т.к. поверхность горизонтальна. Но, нормальная сила по величине не всегда совпадает с силой тяжести.
Нормальная сила - сила взаимодействия поверхностей соприкасающихся тел, чем она больше - тем сильнее трение.
Нормальная сила и сила трения пропорциональны друг другу:
F тр = μF н
0 < μ < 1 - коэффициент трения, который характеризует шероховатость поверхностей.
При μ=0 трение отсутствует (идеализированный случай)
При μ=1 максимальная сила трения, равна нормальной силе.
Сила трения не зависит от площади соприкосновения двух поверхностей (если их массы не изменяются).
Обратите внимание: уравнение F тр = μF н не является соотношением между векторами, поскольку они направлены в разные стороны: нормальная сила перпендикулярна поверхности, а сила трения - параллельна.
1. Разновидности трения
Трение бывает двух видов: статическое и кинетическое .
Статическое трение (трение покоя ) действует между соприкасающимися телами, находящимися в покое друг относительно друга. Статическое трение проявляется на микроскопическом уровне.
Кинетическое трение (трение скольжения ) действует между соприкасающимися и движущимися друг относительно друга телами. Кинетическое трение проявляется на макроскопическом уровне.
Статическое трение больше кинетического для одних и тех же тел, или коэффициент трения покоя больше коэффициент трения скольжения.
Наверняка вам это известно из личного опыта: шкаф очень трудно сдвинуть с места, но поддерживать движение шкафа гораздо легче. Это объясняется тем, что при движении поверхности тел "не успевают" перейти на соприкосновения на микроскопическом уровне.
Задача №1: какая сила потребуется для поднятия шара массой 1 кг по наклонной плоскости, расположенной под углом α=30° к горизонту. Коэффициент трения μ = 0,1
Вычисляем составляющую силы тяжести. Для начала нам надо узнать угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести. Подобную процедуру мы уже делали, рассматривая гравитацию. Но, повторение - мать учения:)
Сила тяжести направлена вертикально вниз. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник, образованный тремя силами: вектором силы тяжести; наклонной плоскостью; основанием плоскости (на рисунке он выделен красным цветом).
Угол между вектором силы тяжести и основанием плоскость равен 90°.
Угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α
Поэтому, оставшийся угол - угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести:
180° - 90° - α = 90° - α
Составляющие силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g накл = F g cos(90° - α) = mgsinα
Необходимая сила для поднятия шара:
F = F g накл + F трения = mgsinα + F трения
Необходимо определить силу трения F тр . С учетом коэффициента трения покоя:
F трения = μF норм
Вычисляем нормальную силу F норм , которая равна составляющей силы тяжести, перпендикулярно направленной к наклонной плоскости. Мы уже знаем, что угол между вектором силы тяжести и наклонной плоскостью равен 90° - α.
F норм = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° + 0,1·1·9,8·cos30° = 4,9 + 0,85 = 5,75 Н
Нам потребуется к шару приложить силу в 5,75 Н для того, чтобы закатить его на вершину наклонной плоскости.
Задача №2: определить как далеко прокатится шар массой m = 1 кг по горизонтальной плоскости, скатившись по наклонной плоскости длиной 10 метров при коэффициенте трения скольжения μ = 0,05
Силы, действующие на скатывающийся шар, приведены на рисунке.
Составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g cos(90° - α) = mgsinα
Нормальная сила:
F н = mgsin(90° - α) = mgcos(90° - α)
Сила трения скольжения:
F трения = μF н = μmgsin(90° - α) = μmgcosα
Результирующая сила:
F = F g - F трения = mgsinα - μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° - 0,05·1·9,8·0,87 = 4,5 Н
F = ma; a = F/m = 4,5/1 = 4,5 м/с 2
Определяем скорость шара в конце наклонной плоскости:
V 2 = 2as; V = &38730;2as = &38730;2·4,5·10 = 9,5 м/с
Шар заканчивает движение по наклонной плоскости и начинает движение по горизонтальной прямой со скоростью 9,5 м/с. Теперь в горизонтальном направлении на шар действует только сила трения, а составляющая силы тяжести равна нулю.
Суммарная сила:
F = μF н = μF g = μmg = 0,05·1·9,8 = -0,49 Н
Знак минус означает, что сила направлена в противоположную сторону от движения. Определяем ускорение замедления шара:
a = F/m = -0,49/1 = -0,49 м/с 2
Тормозной путь шара:
V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a
Поскольку мы определяем путь шара до полной остановки, то V 1 =0 :
s = (-V 0 2)/2a = (-9,5 2)/2·(-0,49) = 92 м
Наш шарик прокатился по прямой целых 92 метра!
Аналогично рычагу , наклонные плоскости уменьшают усилие, необходимое для подъема тел. Например, бетонный блок весом 45 килограммов поднять руками довольно сложно, однако втащить его наверх по наклонной плоскости вполне возможно. Вес тела, размещенного на наклонной плоскости, раскладывается на две составляющие, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна ее поверхности. Для перемещения блока вверх по наклонной плоскости человек должен преодолеть только параллельную составляющую, величина которой растет с увеличением угла наклона плоскости.
Наклонные плоскости весьма разнообразны по конструктивному выполнению. Например, винт состоит из наклонной плоскости (резьбы), обвивающей по спирали его цилиндрическую часть. При вворачивании винта в деталь, его резьба проникает в тело детали, образуя очень прочное соединение за счет большого трения между деталью и витками резьбы. Тиски преобразуют действие рычага и вращательное движение винта в линейную сдавливающую силу. По такому же принципу работает и домкрат, используемый для подъема тяжелых грузов.
Силы на наклонной плоскости
У тела, находящегося на наклонной плоскости, сила тяжести действует параллельно и перпендикулярно ее поверхности. Для перемещения тела вверх по наклонной плоскости необходима сила, равная по величине составляющей силы тяжести, параллельной поверхности плоскости.
Наклонные плоскости и винты
Родство винта с наклонной плоскостью легко проследить, если обернуть цилиндр разрезанным по диагонали листом бумаги. Образующаяся спираль идентична по расположению резьбе винта.
Силы, действующие на винт
При повороте винта его резьба создает очень большую силу, приложенную к материалу детали, в которую он ввернут. Эта сила тащит винт вперед, если он поворачивается по часовой стрелке, и назад, если он поворачивается против часовой стрелки.
Винт для подъема тяжестей
Вращающиеся винты домкратов развивают огромную силу, позволяя им поднимать столь тяжелые тела как легковые или грузовые автомобили. При повороте центрального винта рычагом два конца домкрата стягиваются вместе, производя необходимый подъем.
Наклонные плоскости для расщепления
Клин состоит из двух наклонных плоскостей, соединенных своими основаниями. При забивании клина в дерево наклонные плоскости развивают боковые силы, достаточные для расщепления самых прочных пиломатериалов.
Сила и работа
Несмотря на то, что наклонная плоскость может облегчить задачу, она не уменьшает количество работы, требующееся для ее выполнения. Подъем бетонного блока весом 45 кг (W) на 9 метров вертикально вверх (дальний рисунок справа) требует совершения работы 45x9 килограммометров, что соответствует произведению веса блока на величину перемещения. Когда блок находится на наклонной плоскости с углом наклона 44,5°, сила (F), необходимая для втаскивания блока, уменьшается до 70 процентов от его веса. Хотя это и облегчает перемещение блока, зато теперь, чтобы, поднять блок на высоту 9 метров, его необходимо тащить по плоскости 13 метров. Другими словами выигрыш в силе равен высоте подъема (9 метров), деленной на длину перемещения по наклонной плоскости (13 метров).
