Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка

y(k) = F(k) (92)

Как и для дифференциальных уравнений, решение всегда опре­деляется для уравнений первого порядка и в общем случае не может быть найдено для уравнений более высокого порядка.

Вспомогательное решение.

Рассмотрим однородной уравнение первого порядка

a 1 (k)y(k+1) + a 0 (k)y(k) = 0, (93)

где a 0 (k)≠0 и a 1 (k)≠0. Его можно переписать в виде

y(k+1) = a(k)y(k). (94)

при k=0,1,2...

у(1)=а(0)у(0),

у(2)=а(1)а(0)у(0)

у(3)=а(2)а(1)а(0)у(0)

или, в общем случае,

так что общее решение уравнения (94) равно

Нижний предел произведения произволен, так как любое фик­сированное число множителей а(0), а(1), и а(2), ... можно объединить с произвольной постоянной С.

Решение однородного уравнения выше первого порядка в общем случае не выражается в виде элементарных функций, так как процедура, основанная на уравнениях (81) и (82), при зависящих от k коэффициентах перестает быть справедливой. Если известны все, кроме одного, независимые решения уравнения, то можно определить и ос­тавшееся решение. Как и для дифференциальных уравнений, в ряде отдель­ных случаев удается получить, решение в явном виде. Уравнение вида

a n f(k + n)y(k + n) + ... + a 1 f (k + 1)y(k + 1) + a n f(k)y(k) = 0,

где коэффициенты а i - постоянные величины, путем подстановки z(k)=f(k)y(k) сводится к разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Проце­дура отчасти сходна с используемой для дифференциального уравнения Эй­лера, но замене в данном случае подлежит зависимая (а не независимая) пе­ременная. Этот метод широко используется при решении уравнений с пе­ременными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования. Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования.

Общие замечания.

Системы автоматического регулирования разнообразны по своему назначению и конструктивному исполнению. Поведение САР может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями в частных производных, разностными уравнениями и т.д.

Любая САР представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений САР является разделение системы на отдельные элементы и составление дифференциальных уравнений этих элементов. Уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе регулирования, т.е. изменение по времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР.

Структурная схема САР характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких элементов состоит САР и как эти элементы связаны между собой. Состояние САР, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение, и т.д.), так и механические (скорость, угол поворота, перемещение и т.д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента (g(t)) и одну – на выходе (x(t)). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных величин САР.

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов систем.

При составлении дифференциальных уравнений САР основной задачей является составление дифференциальных уравнений отдельных элементов системы. Уравнение отдельных элементов составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют поведение элемента.

При составлении дифференциальных уравнений элементов САР следует стремиться возможно точнее описать поведение данного элемента. Однако сложность получаемых при этом уравнений затрудняет исследование свойств их решений. Поэтому при составлении дифференциальных уравнений необходимо стремиться к разумному компромиссу между возможно более полным описанием поведения элемента и возможностью обозрения и исследования полученных уравнений.

Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным , если дифференциальное уравнение не линейно, то элемент называется нелинейным .

Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решение которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией .

Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x =φ(g ) некоторой линейной функцией x = ag + b . Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x =φ(g ) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов содержащих отклонение ∆g входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x =φ(g ) касательной, проведенной к кривой в точке (x 0 , g 0), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 29). В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x =φ(g ) в требуемом диапазоне изменения входной величины элемента.

Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными .

Рассмотрим процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением

F(x n , x ’ , x, g) = 0 (1). Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением F(0, 0, x, g) = 0 (2). пусть g 0 и х 0 – значения установившегося состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде x = x 0 + ∆x, g = g 0 + ∆g, где ∆g и ∆x – отклонение координат g и х от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид:

F(∆x ’’ , ∆x ’ , x 0 + ∆x, g 0 + ∆g) = 0 (3).

Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния (0, 0, x 0 , g 0):

Частные производные в левой части уравнения (4) представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функции F(x ’’ , x ’ , x, g) и значений координат x 0 и g 0 .

Считая отклонения ∆g, ∆x от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и пологая, что функция F(x ’’ , x ’ , x, g) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в уравнении (4) все члены, которые содержат отклонения ∆g и ∆x, а также их производные в степени выше первой. Полученное уравнение (5) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами,,,и представляет собой результат линеаризации уравнения (1).

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x ’’ , x ’ , x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию.

Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных x ’’ , x ’ , x, g уравнение (1) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в некоторой малой окрестности установившегося состояния.

Понятие управляемости и наблюдаемости.

Процесс или объект принято называть полностью управляемым, если он может быть переведен из некоторого состояния х(t 0) в желаемое состояние равновесия х(t 1) за конечный интервал времени t 1 – t 0 . Другими словами, процесс является полностью управляемым, если существует управляющее воздействие m(t), определенное на конечном интервале времени t 0 ≤ t ≤ t 1 , которое переводит процесс из начального состояния х(t 0) в желаемое состояние равновесия х(t 1) за время t 1 – t 0 .

Необходимые и достаточные условия полной управляемости для случая дискретных систем можно сформулировать следующим образом.

Линейный дискретный процесс n-го порядка является полностью управляемым тогда и только тогда, когда векторы

s 1 = φ(-T)h(T),

s 2 = φ(-T)h(T),

s n = φ(-T)h(T)

линейно независимы.

Эти векторы возникают в связи со следующими преобразованиями.

(t) = Ax(t) + d m(t),

в котором m(t) – единственное управляющее воздействие. Случай единственного управляющего воздействия рассматривается ради упрощения интерпретации получаемых выражений. Уравнение переходных состояний процесса имеет вид

где φ(Т) – матрица перехода процесса и
.

Понятию управляемости можно дать еще и другое толкование, способствующее лучшему его пониманию. Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением (t) = Ax(t) + D m(t), где х – n-мерный вектор состояния;

m – r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия;

А – квадратичная матрица коэффициентов n-го порядка;

D – матрица управления размера n×r.

Матрица А может быть приведена к диагональной форме

,

где λ i – собственные значения матрицы А линейного процесса, которые предполагаются все различными.

Применяя подстановку x=Tz, уравнение запишем в канонической форме

(t) = Λz(t) + ∆ m(t),

где
. Векторz будем называть каноническим вектором состояния.

Процесс, описываемый уравнением (t) = Ax(t) + D m(t), является управляемым, если матрица ∆ не содержит строк, все элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам ∆, считаются управляемыми.

Пример:

Вывести дифференциальное уравнение центробежного маятника, который применяется в качестве чувствительного элемента в некоторых САР. Схема маятника изображена на рисунке. Входной величиной является угловая скорость ω, а выходной величиной – перемещение х платформы. При увеличении скорости вращения шары под действием центробежной силы расходятся и перемещают платформу. На платформу воздействует также сила упругости пружины, силы демпфирования и силы инерции.

Введем обозначения: с – коэффициент жесткости пружины; k – коэффициент вязкого трения; m – масса шара; М – масса частей, участвующих в поступательном движении вдоль оси ОХ; ω – угловая скорость вала; f 0 – сила предварительного поджатия пружины.

Для составления дифференциального уравнения центробежного маятника используем уравнение Лагранжа второго рода:
(I = 1, 2,…, n) (*). В качестве обобщенной координаты x i выберем выходную координату – перемещение платформы х. Найдем выражение для кинетической энергии Т, потенциальной энергии П и диссипативной функции R центробежного маятника. Из рисунка видно, что

ρ = r + l sin α, x = 2a(1 – cos α).

Кинетическая энергия системы Т = Т 1 + Т 2 + Т 3 , где Т 1 – кинетическая энергия во вращательном движении вокруг оси ОХ; Т 2 – кинетическая энергия шаров во вращательном движении вокруг точек А и А’; Т 3 – кинетическая энергия масс в поступательном движении вдоль оси ОХ. Имеем:

,

,
. (*1)

Потенциальная энергия маятника П = П 1 + П 2 + П 3 , где П 1 – потенциальная энергия масс, движущихся параллельно оси ОХ; П 2 – потенциальная энергия; П 3 – потенциальная энергия пружины. Для рассматриваемого случая имеем:

,
,
. (*2)

Найдем обобщенную диссипативную силу Q R . Благодаря наличию демпфера сила сухого трения мала по сравнению с силой вязкого трения и ею можно пренебречь. Согласно формуле
будем иметь

. (*3)

Вычислим значение отдельных слагаемых, входящих в уравнение Лагранжа (*):

,

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение Лагранжа второго рода (*), тогда

Введем следующее обозначения:

,
,

; (*5)

. (*6)

С учетом принятых обозначений уравнение центробежного маятника запишется в виде

Уравнение (*7) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение. Состояние равновесия (х 0 , ω 0) является решением уравнения

Рассмотрим малые колебания маятника относительно состояния равновесия

х = х 0 + ∆х, ω = ω 0 + ∆ω. (*9)

Разложим функции f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x, ω) в ряд Тейлора в окрестности состояния равновесия (х 0 , ω 0).

где функции F 1 (∆x), F 2 (∆x), F 3 (∆x, ∆ω) имеют более высокий порядок малости по сравнению с ∆x и ∆ω. Учитывая, что x’ = ∆x’ и x” = ∆x”, и принимая во внимание выражения (*8), (*9), (*10), уравнение (*7) можно переписать в виде

где функция

имеет более высокий порядок малости по сравнению с
. Отбрасывая функцию
, получим линеаризованное уравнение колебаний маятника относительно состояния равновесия (х 0 , ω 0)

, (*11)

,

(*12)

.

Р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м наз. уравнение вида

где - искомая и F - заданная функции. Замена в (2) конечных разностей их выражениями через значения искомой функции согласно (1) приводит к уравнению вида

Если , т. е. уравнение (3) действительно содержит как , так и , то уравне-вие (3) наз. р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м m-го п о р я д к а, или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о-р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м.

(6)

где - произвольные постоянные.

3) Общее решение неоднородного Р. у. (4) представляется в виде суммы какого-либо частного его решения и общего решения однородного Р. у. (5).

Частное решение неоднородного уравнения (5) можно построить, исходя из общего решения (6) однородного уравнения, путем применения метода вариации произвольных постоянных (см., напр., ). В случае Р. у. с постоянными коэффициентами

можно непосредственно найти тлинейно независимых частных решений. Для этого рассматривается харак-теристич. уравнение

и ищутся его корни . Если все корни простые, то функции

образуют линейно независимую систему решений уравнения (7). В случае, когда - корень кратности r, линейно независимыми являются решения

Если коэффициенты а 0 , a 1 , . . ., а т действительные и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр. простой корень , то вместо комплексных решений выделяют два линейно независимых действительных решения

Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами

(9) Характеристич. уравнение

имеет корни

Общее решение уравнения (9) в случае удобно записывать в виде

(10)

где с 1 и с 2 - произвольные постоянные. Если и - комплексно сопряженные корни:

то другое представление общего решения имеет вид

В случае кратного корня общее решение может быть получено предельным переходом из (10) или (11). Оно имеет вид

Как и в случае уравнений произвольного порядка, для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу Коши или различные краевые задачи. Напр., для задачи Коши

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется сеточной?

2. Какое уравнение называется разностным?

3. Какие уравнения называются разностными уравнениями 1-го порядка?

4. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 1-го порядка?

5. Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

6. Почему общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид геометрической прогрессии?

Задания.

1. Написать процедуру решения разностного уравнения первого порядка с начальным условием .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение начального условия, коэффициентов уравнения, правой части.

				Указания

Найдем общее решение разностного уравнения 1-го порядка

. (1)

Частное решение однородного уравнения при получим, используя рекуррентную формулу: . Поскольку значение Y в каждом следующем узле сетки удваивается, получается геометрическая прогрессия со знаменателем q=2:

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:, где А - неопределенный коэффициент. Тогда , , и, приравняв полученное значение к заданной правой части, найдем неопределенный коэффициент A=. Окончательно, общее решение: .

Используя начальное условие , находим константу: . Окончательно, частное решение при заданном начальном условии:

.

Для исследования устойчивости решения к возмущению самого решения и начального условия рассмотрим следующее уравнение:

с возмущенным начальным условием

(здесь - величина возмущения). Вычитая исходное уравнение (1), получим разностное уравнение для возмущения:

с начальным условием . Решение этого уравнения имеет вид: , т.е. даже малое возмущение в каком-либо узле экспоненциально растет с увеличением номера узла.

Студенту необходимо проиллюстрировать сказанное выше: исследовать влияние возмущений начального условия, правых частей и коэффициентов уравнения, изменив рекуррентную формулу.

Вариант, в соответствии с номером студента по списку в журнале, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

1. Рекуррентная формула для получения численного решения.
2. Аналитическое решение разностного уравнения. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
3. Исследовать устойчивость решения к возмущению начального условия и решения аналитически.

б) при возмущении коэффициентов уравнения;

в) при возмущении правой части.

Тема:Разностные уравнения 2 порядка

Контрольные вопросы:

1. Какие уравнения называются разностными уравнениями 2-го порядка?

2. Что такое характеристическое уравнение?

3. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с действительными корнями характеристического уравнения?

4. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с комплексными корнями характеристического уравнения?

5. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка?

6. Что такое численное и аналитическое решение разностного уравнения 2-го порядка?

7. Какие задачи называются хорошо обусловленными?

Задания

1. Написать процедуру решения разностной краевой задачи для уравнения второго порядка с граничными условиями , .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически и проверить критерий обусловленности.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение граничных условий и правой части.

						Найдем общее решение разностного уравнения 2-го порядка можно найти выбором произвольных постоянных . Наряду с задачами Коши, для уравнений 2-го порядка рассматриваются также двухточечные краевые задачи, в которых заданы значения сеточной функции в двух узлах, расположенных не подряд, а на концах некоторого конечного отрезка: (граничные условия ). Аналитическое решение такой задачи можно получить подходящим выбором произвольных постоянных в общем решении. Однако, в отличие от задачи с начальными условиями, краевая задача не обязательно будет однозначно разрешимой. Поэтому большое значение имеет выяснение класса краевых задач, которые обладают однозначной разрешимостью и слабой чувствительностью к возмущению (вследствие ошибок округления) правых частей и граничных условий. Такие задачи будем называть хорошо обусловленными Рассмотрим пример плохо обусловленной краевой задачи Постановка задачи. Исходное разностное уравнение и граничные условия. Процедура для получения численного решения. Аналитическое решение разностной краевой задачи. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Проверка критерия обусловленности. Графики численного решения и аналитического решения (в одних осях). График разности численного и аналитического решения. Графики возмущенных численных решений и разности возмущенного и невозмущенного решений: а) при возмущении начального условия; б) при возмущении правой части. Вывод об обусловленности краевой задачи.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ - уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x1, x2, ..., xn.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени.

Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность

y = y(t+1) – y(t),

которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности

y = y(t) – y(t–1)

Левая, а приведенная выше - правая. Можно определить вторую разность:

Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –

– 2y(t + 1) + y(t)

и разности высших порядков Δn.

Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:

f = 0.

Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек

y(t), y(t+1), ..., y(t+n).

При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Δt стремится к нулю.

При исследовании функций многих переменных по аналогии с частными производными (см. Производная) вводятся также частные разности.

Линейные разностные уравнения первого порядка

y(x + 1) − ay(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 1) − ay(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 1) − xy(x) = 0.

y(x + 1) − a(x − b)(x − c)y(x) = 0.

y(x + 1) − R(x)y(x) = 0, где R(x) -- рациональная функция.

y(x + 1) − f(x)y(x) = 0.

y(x + a) − by(x) = 0.

y(x + a) − by(x) = f(x).

y(x + a) − bxy(x) = 0.

y(x + a) − f(x)y(x) = 0.

Линейные разностные уравнения второго порядка, yn = y(n)

yn+2 + ayn+1 + byn = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

yn+2 + ayn+1 + byn = fn. Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + a(x + 1)y(x + 1) + bx(x + 1)y(x) = 0.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Разностное уравнение представляет собой уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Пример:

\[Г (z+1) = zГ(z)\]

Для разностных уравнений с постоянными коэффициентами существуют детально разработанные методы нахождения решения в замкнутой форме. Неоднородное и однородное разностные уравнения n-го порядка задаются соответственно уравнениями, где \ постоянные коэффициенты.

Однородные разностные уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка

\[(a_nE^n +a{n-1}E^n1 + \cdots +a_1Е + a_1)y(k) = 0 \]

Предлагаемое решение следует искать в виде:

где \ - подлежащая определению постоянная величина. Вид предполагаемого решения, задаваемый уравнением, не является наиболее распространенным. Допустимые значения \ служат корнями многочлена от \[ е^r.\] При\[ \beta = е^r \]предполагаемое решение становится таким:

где \[\beta\] - подлежащая определению постоянная величина. Подставляя уравнение и учитывая \, получим следующее характеристическое уравнение:

Неоднородные разностные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка

\[ (a_nЕn +а_{n-1}Еn^-1+\cdots+ а_1Е +a_1)y(k) =F(k) \]

Ответ имеет следующий вид:

Где можно решить разностное уравнение онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.